Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn fx+fπ2−x=sinx.cosx, với mọi x∈ℝ và f(0) = 0. Giá trị của tích phân ∫0π2x.f'xdx bằng

Thay x=π2 vào đẳng thức fx+fπ2−x=sinx.cosx⇒fπ2+f0=0⇔fπ2=0.

Xét I=∫0π2x.f'xdx

Đặt u=xdv=f'xdx⇒du=dxv=fx

⇒I=x.fx0π2−∫0π2fxdx=−∫0π2fxdx1

Lại có: ∫0π2fxdx+∫0π2fπ2−xdx=∫0π2sinx.cosxdx

⇔2∫0π2fxdx=12∫0π2sin2xdx⇔2∫0π2fxdx=12⇔∫0π2fxdx=14.

Vậy I=−14.

Chọn C.