Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 0\] và \[f'\left( x \right) = \left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\cos x;\forall x \in \mathbb{R}\]. Khi đó \[\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \] bằng

Chọn đáp án C

Ta có hàm số \[f'\left( t \right) = \left( {{e^t} + {e^{ - t}}} \right)\cos t\] là hàm số chẵn trên \[\mathbb{R}\], nên \[f\left( x \right) - f\left( { - x} \right) = \int\limits_{ - x}^x {f'\left( t \right)dt} = 2\int\limits_0^x {f'\left( t \right)dt} = 2\left[ {f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \right] = 2f\left( x \right) \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right);\forall x \in \mathbb{R}\] suy ra hàm số \[f\left( x \right)\] là lẻ trên \[\mathbb{R}\].

Vậy \[\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 0\].