Cho số phức \(z = 2 + mi\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\)thỏa \(\left( {2z - i} \right)\left( {2\overline z - 2} \right)\) là số thực. Giá trị \(\left| {2z - 3} \right|\) bằng

Lời giải

Ta có: \(z = 2 + mi\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\overline z = 2 - mi\).

Khi đó: \(\left( {2z - i} \right)\left( {2\overline z - 2} \right) = \left[ {4 + (2m - 1)i} \right]\left( {2 - 2mi} \right)\)

\( = 8 - 8mi + 2\left( {2m - 1} \right)i + 2m\left( {2m - 1} \right)\)

\( = 8 + 2m\left( {2m - 1} \right) + \left[ {\left( {4m - 2} \right) - 8m} \right]i\)

\( = \left( {4{m^2} - 2m + 8} \right) - \left( {4m + 2} \right)i\).

Số phức \(\left( {2z - i} \right)\left( {2\overline z - 2} \right)\) là số thực khi \(4m + 2 = 0\, \Leftrightarrow \,m = - \frac{1}{2}\).

Với \(m = - \frac{1}{2}\): \(z = 2 - \frac{1}{2}i\,\).

Do đó: \(\left| {2z - 3} \right| = \left| {2\left( {2 - \frac{1}{2}i} \right) - 3} \right| = \left| {1 - i} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \).

Kết luận: \(\left| {2z - 3} \right| = \sqrt 2 \).

Chọn đáp án C