Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng 22. Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

+) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB, CD.

 ΔACD cân tại A có trung tuyến AF⇒AF⊥CD.

ΔBCD cân tại B có trung tuyến BF⇒BF⊥CD.

⇒CD⊥AFB⇒CD⊥ABCD⊥EF.

Mặt khác vì ΔACD=ΔBCDc.c.c

⇒A​F=BF⇒E​F⊥AB.

⇒E​Flà đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Do đó EF là trung trực của AB và CD nên tâm mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD là điểm I  thuộc đoạn EF

+) Trong tam giác vuôngADF.AF2=AD2−DF2=18⇒AF=32. 

VABCD=2VDABF=2.13DF.SABF=23DF12.AF.BFsinAFB^

≤13DF.AF.BF=13322=6.

VABCD lớn nhất bằng 6 khi sinAFB^=1⇔AFB^=900⇔AF⊥BF.

Trong tam giác vuông cân ABF có: AB=AF2=6⇒EF=3.   

Đặt IE=x⇒IF=3−x0≤x≤3.

Trong tam giác vuông AEI có: AI2=x2+9.

Trong tam giác vuông DFI có: DI2=3−x2+4.

Tứ diện  ngoại tiếp mặt cầu tâm I thì R=AI=DI⇒AI2=DI2

⇒x2+9=3−x2+4⇔−6x+4=0⇔x=23⇒R2=AI2=859.

Vậy S=4πR2=4π.859=340π9.

Chọn A