Cho hai hàm số fx và gx có đạo hàm trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn hệ thức f1+g1=4gx=−x.f'x;     fx=−x.g'x. Tính I=∫14fx+gxdx.

Chọn A

Cách 1: Ta có fx+gx=−xf'x+g'x ⇔fx+gxf'x+g'x=−1x

⇔∫fx+gxf'x+g'xdx=−∫1xdx⇒lnfx+gx=−lnx+C

Theo giả thiết ta có C−ln1=lnf1+g1⇒C=ln4.

Suy ra fx+gx=4xfx+gx=−4x, vì f1+g1=4 nên fx+gx=4x

⇒I=∫14fx+gxdx=8ln2

Cách 2: Ta có fx+gx=−xf'x+g'x

⇒∫fx+gxdx=−∫xf'x+g'xdx.

⇒∫fx+gxdx=−xfx+gx+∫fx+gxdx.

⇒−xfx+gx=C⇒fx+gx=−Cx. Vì f1+g1=−C⇒C=−4

Do đó fx+gx=4x. Vậy I=∫14fx+gxdx=8ln2.

.