Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y=x3−3mx+2 cắt đường tròn tâm I (1;1), bán kính bằng 1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

Ta có :y'=3x2−3m nên y'=0⇔x2=m.

Đồ thị hàm số y=x3−3mx+2 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0.

Ta có: y=x3−3mx+2=13x3x2−3m−2mx+2=13x⋅y'−2mx+2.

Đường thẳng đi qua hai điểm cụ̣c trị của đồ thị hàm số y=x3−3mx+2 có phương trình Δ:y=−2mx+2

Ta có: S△IAB=12⋅IA⋅IB⋅sinAIB^=12sinAIB^≤12

Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 12 khi sinAIB^=1⇔AI⊥BI.

Gọi H là trung điểm AB ta có: IH=12AB=22=d(I,Δ)

Mà d(I,Δ)=|2m+1−2|4m2+1

Suy ra: d(I,Δ)=|2m+1−2|4m2+1=22.

⇔8m2−16m+2=0

⇔m=2±32

Chọn D