Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn f'x2=42x2+1−fx với mọi x thuộc đoạn [0; 1] và f(1) = 2. Giá trị I=∫01xfxdx bằng

Chọn C.

Cách 1:

Ta có

f'x2=42x2+1−fx⇔f'x2+4fx=42x2+1

⇒∫01f'x2dx+∫014fxdx=∫0142x2+1dx⇔∫01f'x2dx+4xfx10−4∫01xf'xdx=203

⇔∫01f'x2dx−4∫01xf'xdx+4f1=203

⇔∫01f'x2dx−4∫01xf'xdx+4∫01x2dx=203−8+4∫01x2dx

⇔∫01f'x−2x2dx=0⇔f'x−2x=0⇒fx=x2+C.

f1=2⇔C=1⇔fx=x2+1.

Vậy I=∫01xfxdx=34.

Cách 2:

Đặt fx=ax2+bx+c, ta có:

f'x2=42x2+1−fx⇔2ax+b2=42x2+1−ax2−bx−c⇔4a2=42−a4ab=−4bb2=41−c.

Kết hợp với điều kiện f1=2⇔a+b+c=2 ta có nghiệm a=1b=0c=1. Vậy fx=x2+1.