Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,…, tam giác AnBnCnAnBnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác An−1Bn−1Cn−1…. Goi P,P1,P2,...,Pn,... là chu vi của các tam giác ABC,A1B1C1,A2B2C2,...,AnBnCn,... Tìm tổng P,P1,P2,...,Pn,...

Bước 1:

Gọi an là cạnh của tam giác AnBnCn với n nguyên dương.

Ta cần chứng minh cạnh của tam giác bất kì AnBnCn bằngan=a2n với mọi số nguyên dương n   (*)

Vì A1,B1,C1 là trung điểm các cạnh của tam giác ABC nên a1=a2

Cạnh của tam giác A1B1C1 có cạnh là a2=a21

Giả sử (*) đúng với n=k

Tức là cạnh của tam giác AkBkCk là ak=a2k

Ta có Ak+1Bk+1Ck+1 có cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác AkBkCk nên có cạnh là ak+1=ak2=12.a2k=a2k+1

=> (*) đúng với n=k+1

=> (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

=> Chu vi của tam giác AnBnCn như giả thiết là Pn=3a2n

Bước 2:

Như vậy P=3a;P1=3a2;P2=3a22;...;Pn=3a2n;...

Dãy số Pn gồm P,P1,P2,... là cấp số nhân với số hạng đầu là P=3a công bội q=12

⇒P+P1+P2+...=3a1−12=6a

Đáp án cần chọn là: B