Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, trọng tâm G. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CG} \) là

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên AB = BC = AC = a và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \)

Vì tam giác ABC đều có G là trọng tâm nên G là giao điểm của ba đường phân giác

Suy ra CG là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)

Do đó \(\widehat {BCG} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ \)

Gọi CB’ là tia đối của tia BC

Góc tạo bởi \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CG} \) là \(\widehat {B'CG}\)

Ta có \(\widehat {B'CG} + \widehat {BCG} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {B'CG} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \)

Gọi H là giao điểm của CG và AB

Khi đó CH ⊥ AB và H là trung điểm của AB

Hay tam giác ACH vuông tại H

Suy ra \(CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Do đó \(CG = \frac{2}{3}CH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Ta có

\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CG} = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CG} } \right|.co{\rm{s}}\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CG} } \right)\)

\( = BC.CG.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CG} } \right) = BC.CG.co{\rm{s150}}^\circ \)

\( = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{ - \sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - {a^2}}}{2}\).

Vậy ta chọn đáp án D.