Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng \[a\sqrt {34} \]. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. A'B'C'.

Đáp án đúng là: B

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của BC.

Ta có A'G ⊥ (ABC) nên A'G ⊥ BC; BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (MAA')

Kẻ MI ⊥ AA' ; BC ⊥ IM nên \[d\left( {{\rm{AA';BC}}} \right) = IM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\]

Kẻ GH ⊥ AA', ta có: 

\(\frac = \frac = \frac{2}{3} \Leftrightarrow GH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

\(\frac{1}{{H{G^2}}} = \frac{1}{{A'{G^2}}} + \frac{1}{{A{G^2}}} \Leftrightarrow A'G = \frac{{\sqrt {A{G^2} - H{G^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} - \frac{{{a^2}}}} }} = \frac{a}{3}\)

VABC⋅A'B'C'=A'G⋅SABC=a3⋅a234=a2312 (đvtt).