Cho hình nón đỉnh S, góc ở đỉnh bằng 120°, đáy là hình tròn (O; 3R). Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua S và tạo với đáy góc 60°. Diện tích thiết diện là:

Đáp án đúng là: B

Thiết diện qua trục là tam giác SMN \( \Rightarrow \widehat {MSN} = 120^\circ \Rightarrow \widehat {OSN} = 60^\circ \)

Ta có: \(SO = \frac{{\tan 60^\circ }} = \frac{{\sqrt 3 }} = R\sqrt 3 \)

Vì (SAB) tạo với đáy góc 60°\( \Rightarrow \widehat {SHO} = 60^\circ \)

Ta có: \(OH = \frac{{\tan 60^\circ }} = \frac{{R\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = R\)

Vì tam giác SOH vuông tại O nên

\({\rm{S}}{O^2} + O{H^2} = S{H^2} \Leftrightarrow {(R\sqrt 3 )^2} + {R^2} = S{H^2} \Leftrightarrow SH = 2R\)

Vì tam giác BOH vuông tại H nên

\(O{H^2} + H{B^2} = O{B^2} \Leftrightarrow H{B^2} = {(3R)^2} - {R^2} \Leftrightarrow HB = 2R\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow AB = 2HB = 4R\sqrt 2 \)

Ta có: \({S_{SAB}} = \frac{1}{2}.SH.AB = \frac{1}{2}.2R.4R\sqrt 2 = 4\sqrt 2 .{R^2}\)

Vậy ta chọn đáp án B.