Cho tam giác ABC vuông tại A, \(BC = a\sqrt 3 \), M là trung điểm của BC và có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}\). Tính cạnh AB, AC.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} ) = \frac{{{a^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} - A{B^2} = {a^2}\end{array}\)

Mặt khác, tam giác \({\rm{ABC}}\) vuông tại A nên \(A{B^2} + A{C^2} = 3{a^2}\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A{C^2} = 2{a^2}}\\{A{B^2} = {a^2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC = a\sqrt 2 }\\{AB = a}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy ta chọn đáp án A.