Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 0; 0),B(0; −2; 0) và C(0; 0; −4). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng:

Đáp án đúng là: B

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

⇒ IO = IA = IB = IC

⇒ IO² = IA² = IB² = IC²

Khi đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} + {z^2} = {{(x - 3)}^2} + {y^2} + {z^2}}\\{{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {{(y + 2)}^2} + {z^2}}\\{{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {{(z + 4)}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = {{(x - 3)}^2}}\\{{y^2} = {{(y + 2)}^2}}\\{{z^2} = {{(z + 4)}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6x + 9 = 0}\\{4y + 4 = 0}\\{8z + 16 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{3}{2}}\\{y = - 1}\\{z = - 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2}; - 1;2} \right)\)

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiểp tứ diện OABC là:

\({\rm{R}} = {\rm{IO}} = \sqrt {\frac{9}{4} + 1 + 4} = \sqrt {\frac{4}} \)

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

\({\rm{S}} = 4\pi {{\rm{R}}^2} = 4\pi \frac{4} = 29\pi \)

Đáp án cần chọn là: B