Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{1},a \ne 0\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(y' = \frac{{ - a}}{{{{(ax + b)}^2}}},y'' = \frac{{{a^2}.2}}{{{{(ax + b)}^3}}},y''' = \frac{{ - {a^3}.2.3}}{{{{(ax + b)}^4}}}\)

Ta chứng minh: \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\)

\( \bullet \) Với \(n = 1 \Rightarrow y' = \frac{{{{( - 1)}^1}.{a^1}.1!}}{{{{(ax + b)}^2}}} = - \frac{a}{{{{(ax + b)}^2}}}\) đúng

\( \bullet \) Giả sử \({y^{(k)}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.{a^k}.k!}}{{{{(ax + b)}^{k + 1}}}}\)

\( \Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = - \frac{{{{( - 1)}^k}.{a^k}.k!.\left[ {{{(ax + b)}^{k + 1}}} \right]'}}{{{{(ax + b)}^{2k + 2}}}} = \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.{a^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.