Biết rằng đường thẳng y=x−m cắt đồ thị hàm số y=x3−3x2 tại ba điểm phân biệt sao cho có một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó thuộc khoảng nào dưới đây ?

Phương pháp giải:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm.

+) Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại suy ra phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

+) Gọi 3 nghiệm của phương trình là a−d;a;a+d(d≠0), sử dụng định lí Vi-et của phương trình bậc ba.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm x3−3x2=x−m⇔x3−3x2−x+m=0 (∗)

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại ⇒pt(∗) có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

Gọi 3 nghiệm của phương trình (*) theo thứ tự của 1 CSC là a−d;a;a+dd≠0.

Theo định lí Vi-et ta có a−d+a+a+d=−ba=3⇔−ba=3⇔3a=3⇔a=1 

⇒pt(∗) có 1 nghiệm x=1⇒1−3−1+m=0⇔m=3

Khi đó phương trình  (*) có dạng x3−3x2−x+3=0⇔x=−1x=1       (tm)x=3 

Vậy m=3∈(2;4).

Chọn A.