Cho ba tia Ox, Oy, Oz trong không gian sao cho xOy^=120∘, zOy^=90∘, xOz^=60∘. Trên ba tia ấy lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a. Gọi α, β lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC) và mặt phẳng (OAC). Tính tanα⋅tanβ?

Đáp án A.

ΔOAB đều => AC = a. Tam giác OBC vuông BC=a2. Áp dụng định lý cosin cho ΔOAB

⇒AB=a3⇒ΔABC có AB2=AC2+BC2⇒ΔABC vuông tại C

Gọi H là trung điểm của AB => H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC⇒OH⊥ABC

⇒α=OIH^;β=OJH^ (với I, J lần lượt là trung điểm của BC và AC).

⇒tanα.tanβ=OHHI.OHHJ=OH2HI.HJ=a22a2.a22=12