Cho hai hàm f(x) và g(x) có đạo hàm trên 1;2 thỏa mãn f(1)=g(1)=0 và x(x+1)2g(x)+2017x=(x+1)f'(x)x3x+1g'(x)+f(x)=2018x2, ∀x∈1;2. Tính tích phân I=∫12xx+1g(x)−x+1xf(x)dx.

Chọn A

          Từ giả thiết ta có: 1(x+1)2g(x)−x+1xf'(x)=−2017xx+1g'(x)+1x2f(x)=2018, ∀x∈1;2.

          Suy ra: 1(x+1)2g(x)+xx+1g'(x)−x+1xf'(x)−1x2f(x)=1⇔xx+1g(x)'−x+1xf(x)'=1⇒xx+1g(x)−x+1xf(x)=x+C.

          Mà f(1)=g(1)=0⇒C=−1⇒I=∫12xx+1g(x)−x+1xf(x)dx=∫12(x−1)dx=12.