Cho hàm số f(x)=x2+x+1 khi x≥02x−3 khi x<0 . Biết I=∫0π2f(2sinx−1)cosx dx+∫ee2flnxxdx=ab với ab là phân số tối giản. Giá trị của tích a+b bằng

Chọn B

I=∫0π2f(2sinx−1)cosx dx+∫ee2flnxxdx=I1+I2

Đặt t=2sinx−1⇒dt=2cosxdx⇒cosxdx=dt2 . Đổi cận x=0⇒t=−1x=π2⇒t=1  .

⇒I1=12∫−11ftdt=12∫−11fxdx

Do  f(x)=x2+x+1 khi x≥02x−3 khi x<0

⇒I=12∫−102x−3dx+∫01x2+x+1dx=−1312.

Đặt t=lnx⇒dt=1xdx . Đổi cận  x=e⇒t=1x=e2⇒t=2.

⇒I2=∫12ftdt=∫12fxdx

Do  f(x)=x2+x+1 khi x≥02x−3 khi x<0

⇒I=∫12x2+x+1dx=296.

⇒I=I1+I2=−37772⇒a=−377, b=72

Vậy a+b=−305