Cho hai dãy un,  vn thỏa mãn vn=un+1−un, ∀n≥1, trong đó u1=1 và vn là cấp số cộng có v1=3, công sai là 3. Đặt Sn=u1+u2+...+un. Tính limSnn3.

Lời giải

Ta có: vn=v1+n−1d= 3+3n−1=3n

Do un=un−un−1+un−1−un−2+...+u2−u1+u1 = vn−1+vn−2+...+v1+1.

Nên un3n−1+n−2+...+1+13nn−12+1=3n2−3n+2232n2−32n+1

Từ đó ta có: u1+u2+u3+...+un3212+22+...+n2−321+2+...+n+n.1

 =32nn+12n+16−32nn+12+n=n3+n2

⇒limSnn3=lim12+12n2=12.