Nếu đặt \[t = \sqrt {3\tan x + 1} \] thì tích \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{6\tan x}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \] trở thành:

Phương pháp giải:

Đặt \[t = \sqrt {3\tan x + 1} \], lưu ý đổi cận.

Giải chi tiết:

Đặt \[t = \sqrt {3\tan x + 1} \Leftrightarrow {t^2} = 3\tan x + 1 \Leftrightarrow 2tdt = \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}dx\] và \[\tan x = \frac{{{t^2} - 1}}{3}\]

Đổi cận \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Leftrightarrow t = 1}\\{x = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow t = 2}\end{array}} \right.\]. Khi đó ta có:

\[I = \int\limits_1^2 {\frac{{2\tan x.3}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} = 2\int\limits_1^2 {\frac{{\frac{{{t^2} - 1}}{3}.2tdt}}{t}} = \frac{4}{3}\int\limits_1^2 {\left( {{t^2} - 1} \right)dt} \]