Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = {x^3} - 3(m + 2){x^2} + 3({m^2} + 4m)x + 1\] nghịch biến trên khoảng (0; 1)?

Phương pháp giải:

Hàm số \[y = f(x)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'(x) \le 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\], bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (a;b).

Giải chi tiết:

\[y = {x^3} - 3(m + 2){x^2} + 3({m^2} + 4m)x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6(m + 2)x + 3({m^2} + 4m)\]

Hàm số \[y = {x^3} - 3(m + 2){x^2} + 3({m^2} + 4m)x + 1\] nghịch biến trên khoảng (0; 1) \[ \Leftrightarrow f'(x) \le 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\], bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0; 1).

\[ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6(m + 2)x + 3({m^2} + 4m) \le 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\], bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0; 1).

Xét phương trình \[3{x^2} - 6(m + 2)x + 3({m^2} + 4m) = 0{\mkern 1mu} (*)\]

\[\Delta ' = 9{(m + 2)^2} - 3.3.({m^2} + 4m) = 36 > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m \Rightarrow \] Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1) thì \[{x_1} \le 0 < 1 \le {x_2}\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}{x_2} \le 0}\\{[1 - {x_1})(1 - {x_2}) \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}{x_2} \le 0}\\{1 + {x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) \le 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} + 4m \le 0}\\{1 + {m^2} + 4m - 2m - 4 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4 \le m \le 0}\\{ - 3 \le m \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m \le 0\]

Mà \[m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0} \right\} \Rightarrow \] Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.