Cho khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có thể tích bằng 1. Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \[AA'\] và \[BB'\]. Đường thẳng CM cắt đường thẳng \[C'A'\] tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng \[C'B'\] tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi \[A'MPB'NQ\] bằng:

Phương pháp giải:

Phân chia khối đa diện: \[{V_{A'MPB'NQ}} = {V_{C.C'PQ}} - {V_{CC'A'B'NM}}\]. Xác định các tỉ số về chiều cao và diện tích đáy để suy ra tỉ số giữa chóp, lăng trụ,…

Giải chi tiết:

Gọi diện tích đáy, chiều cao, thể tích của hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] lần lượt là \[S,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} V \Rightarrow V = Sh\].

Ta có: \[\Delta PQC'\~\Delta A'B'C'\] theo tỉ số 2

\[ \Rightarrow {S_{C'PQ}} = 4{S_{A'B'C'}} = 4S.\]

\[ \Rightarrow {V_{C.C'PQ}} = \frac{1}{3}.h.4S = \frac{4}{3}V\]

Ta có : \[{S_{ABNM}} = \frac{1}{2}{S_{ABB'A'}} \Rightarrow {V_{C.ABNM}} = \frac{1}{2}{V_{C.ABB'A'}}\]

Mà \[{V_{C.ABB'A'}} = \frac{2}{3}V \Rightarrow {V_{C.ABNM}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}V = \frac{V}{3}\]

\[ \Rightarrow {V_{CC'A'B'NM}} = V - \frac{V}{3} = \frac{2}{3}V\]

Vậy \[{V_{A'MPB'NQ}} = \frac{4}{3}V - \frac{2}{3}V = \frac{2}{3}V\]