Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \[\left| {z - i} \right| = \left| {(1 + i)z} \right|\].

Phương pháp giải:

Cho số phức \[z = x + yi\;\;\left( {x,\;y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow M\left( {x;\;y} \right)\] là điểm biểu diễn số phức z.

Modun của số phức \[z = x + yi:\;\;\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\]

Giải chi tiết:

Gọi số phức \[z = x + yi\;\;\left( {x,\;y \in \mathbb{R}} \right).\]

\[\;\;\;\left| {z - i} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)z} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi - i} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)\left( {x + yi} \right)} \right|\]

\[ \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x - y + \left( {y + x} \right)i} \right|\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y + x} \right)}^2}} \]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} + 2xy + {x^2}\]\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2y - 1 = 0.\]

Vậy tập hợp biểu diễn số phức z thỏa mãn bài cho là đường tròn có phương trình \[{x^2} + {y^2} + 2y - 1 = 0\]  có tâm \[I\left( {0; - 1} \right)\] và bán kính \[R = \sqrt 2 .\]