Trong các mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 4 + 2t}\end{array}} \right.,\;{\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 8 + 2t}\\{y = 6 + t}\\{z = 10 - t}\end{array}} \right.;\] phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là

Phương pháp giải:

- Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng nếu nó có tâm là trung điểm của đoạn vuông góc chung.

- Gọi hai điểm \[M,N\] lần lượt thuộc hai đường thẳng, sử dụng \[MN \bot {\Delta _1},MN \bot {\Delta _2}\] để tìm tọa độ \[M,N\] và kết luận.

Giải chi tiết:

Nhận xét: Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng nếu nó có tâm là trung điểm của đoạn vuông góc chung. Từ đó ta tìm đoạn vuông góc chung và suy ra tâm, bán kính mặt cầu.

\[{\Delta _1}\] có VTCP \[\overrightarrow = \left( {1; - 1;2} \right)\] và \[{\Delta _2}\] có VTCP \[\overrightarrow = \left( {2;1; - 1} \right)\].

Gọi \[M\left( {t;2 - t; - 4 + 2t} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\left( { - 8 + 2t';6 + t';10 - t'} \right)\] lần lượt là hai điểm thuộc \[{\Delta _1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\Delta _2}\] sao cho \[MN\] là đoạn vuông góc chung.

\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t} \right)\]

\[MN\] là đoạn vuông góc chung \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow = 0}\\{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6t + t' = 16}\\{t + 6t' = 26}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{t' = 4}\end{array}} \right.\].

Suy ra \[M\left( {2;0;0} \right),N\left( {0;10;6} \right) \Rightarrow I\left( {1;5;3} \right)\] là trung điểm của \[MN\] và cũng là tâm mặt cầu cần tìm.

Bán kính mặt cầu \[R = IM = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 5} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {35} \].

Vậy phương trình mặt cầu \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 35\].