Cho hàm số fx=x3−3x2+2 có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hỏi phương trình x3−3x2+23−3x3−3x2+22+2=0 có bao nhiêu nghiệm thực dương phân biệt?

Phương pháp giải:

Đặt t=x3−3x2+2=f(x), dựa vào đồ thị hàm số đã cho tìm ra các nghiệm .

Xét các phương trình f(x)=ti, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng y=ti song song với trục hoành.

Giải chi tiết:

Cách giải:

Đặt t=x3−3x2+2=f(x) khi đó phương trình trở thành t3−3t2+2=0 và hàm số f(t)=t3−3t2+2 có hình dáng  như trên. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f(t)=0⇔t=1−3t=1t=1+3

Với t=1+3⇒f(x)=1+3 (1). Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng y=1+3 song song với trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y=1+3cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại 1 điểm có hoành độ dương duy nhất nên phương trình (1) có 1 nghiệm dương duy nhất.

Với t=1⇒f(t)=1(2). Lập luận tương tự như trên ta thấy phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Với t=1−3⇒f(t)=1−3  (3). Phương trình 3 có 2 nghiệm dương phân biệt.

Vậy phương trình ban đầu có 5 nghiệm dương phân biệt.

Chọn B.

Chú ý khi giải:

Sau khi đặt ẩn phụ và tìm ra được 3 nghiệm t, nhiều học sinh kết luận sai lầm phương trình có 3 nghiệm phân biệt và chọn đáp án A. Số nghiệm của phương trình là số nghiệm x chứ không phải số nghiệm t.