Kết quả nguyên hàm \[I = \int {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \] là:

Hướng dẫn giải

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\\dv = \frac{{{{\cos }^2}x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{\cos x - 2\sin x}}{{\sin x + 2\cos x}}dx\\v = \tan x + 2 = \frac{{\sin x + 2\cos x}}{{\cos x}}\end{array} \right.\]

Khi đó \[\begin{array}{l}I = \left( {\tan x + 2} \right)\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - \int {\frac{{\cos x - 2\sin x}}{{\cos x}}dx} \\\;\; = \left( {\tan x + 2} \right)\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x - 2\ln \left| {\cos x} \right| + C\end{array}\]

Chọn B.