Cho hình chóp S.ABC có ASB^=CSB^=600, ASC^=900 và SA=SB=a,SC=3a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

Gọi M là trung điểm của  AB⇒SM⊥AB.1 Ta có SA=SBASB^=600⇒ΔSAB  đều →AB=aSM=a32.

Tam giác SAC, có AC=SA2+SC2=a10.

Tam giác SBC, có BC=SB2+SC2−2SB.SC.cosBSC^=a7.

Tam giác ABC, có  cosBAC^=AB2+AC2−BC22AB.AC=105.

 →CM=AM2+AC2−2AM.AC.cosBAC^=a332.

Ta có SM2+MC2=SC2=9a2→ΔSMC  vuông tại →SM⊥MC2 .

Từ 1  và 2 , ta có SM⊥ABC.

Diện tích tam giác SΔABC=12AB.AC.sinBAC^=a262.

Vậy thể tích khối chop VSABC=13SΔABC.SM=a324.  Chọn D.

Cách 2.

Trên cạnh SC lấy điểm D sao cho SD=a .

Dễ dàng suy ra AB=CD=a, AD=a2SA=SD=a, AD=a2→ΔABD vuong canΔSAD vuong can.

Lại có SA=SB=SD=a  nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABD  là trung điểm I của AD

Ta tính được SI=a22  và SΔABD=12a2.

Suy ra VS.ABD=13SΔABD.SI=a3212.

Ta có VS.ABDVS.ABC=SDSC=13

 →VS.ABC=3VS.ABD=a324.

Cách 3. Phương pháp trắc nghiệm.  Cho hình chóp SS.ABC có ASB^=α, BSC^=β, CSA^=γ  và  SA=a,SB=b,SC=c.''    Khi đó ta có:VS.ABC=abc61−cos2α−cos2β−cos2γ−2cosαcosβcosγ.

Áp dụng công thức, ta được  VS.ABC=a324.