Cho số phức z thỏa mãn z=1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z+1+z2+z+1. Khi đó giá trị của M + m bằng

Chọn B

Đặt z=a+bia,b∈ℝ và t=z+1. Khi đó

t2=z+1z¯+1=z2+1+z+z¯=2+2a⇒a=t2−22

Ta có

z2+z+1=a2−b2+2abi+a+bi+1=a2+1−b2+a+b2a+1i=2a2+a2+b22a+12=a22a+12+1−a22a+12

=2a+1=t2−1

⇒z+1+z2+z+1=t+t2−1 (với 0≤t≤2, do a2≤1).

Xét hàm số ft=t+t2−1 với t∈0;2

Trường hợp 1: t∈0;1⇒ft=t+1−t2=−t2+t+1≤f12=54

và có f0=f1=1 nên max0;1ft=54min0;1ft=1

Trường hợp 2: t∈1;2⇒ft=t+t2−1=t2+t−1,f't=2t+1>0,∀t∈1;2

Do đó hàm số luôn đồng biến trên 1;2⇒M=max0;2ft=5m=min0;2ft=1⇒M+m=6