Cho hình nón N1 có đỉnh S, chiều cao h. Một hình nón N2 có đỉnh là tâm của đáy N1 và có đáy là một thiết diện song song với đáy của N2 như hình vẽ. Khối nón N2 có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng

Xét mặt cắt qua trục hình nón và kí hiệu như hình vẽ. Với O, I lần lượt là tâm đáy của hình nón N1,N2; R, r lần lượt là các bán kính của hai đường tròn đáy của N1,N2

Ta có SISO=rR⇔h−xh=rR→r=Rh−xh

Thể tích khối nónN2 là

VN2=13πr2x=13πR2h−x2h2x=πR23h2.xh−x2

Xét hàm fx=xh−x2=x3−2hx2+h2x trên (0;h). Ta có

f'x=3x2−4hx+h2;x=0⇔x=hx=h3

Lập bảng biến thiên ta có

Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;h) tại x=h3