Phương trình \({3^{1 - x}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}\) có bao nhiêu nghiệm âm?

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

\({3^{1 - x}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{{{3^x}}} = 2 + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x}} - 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 2 = 0\)

Đặt \(t = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\), t > 0. Khi đó phương trình đã cho trở thành:

t² – 3t² + 2 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right.\)

Với t = 1 \( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

Với t = 2 \( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{1}{3}}}2 < 0\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm âm duy nhất \(x = {\log _{\frac{1}{3}}}2\).