Cho hai số thực x,y thỏa mãn x≥0;y≥0 và x+y=1 . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+1+yx+1 lần lượt là

Hướng dẫn giải

Ta có P=xy+1+yx+1=x(x+1)+y(y+1)(x+1)(y+1)=(x+y)2−2xy+1xy+x+y+1=2−2xy2+xy.

Đặt t=xy  ta được P=2−2t2+t.

Vì x≥0;y≥0⇒t≥0.

Mặt khác 1=x+y≥2xy⇔xy≤14⇒t≤14.

Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(t)=2−2t2+t  trên 0;14.

Xét hàm số g(t)=2−2t2+t  xác định và liên tục trên 0;14.

Ta có g'(t)=−6(2+t)2<0  với ∀t∈0;14

 ⇒hàm số g(t)  nghịch biến trên đoạn 0;14.

Do đó min0;14g(t)=g14=23max0;14g(t)=g(0)=1⇒minP=23maxP=1 .

Chọn C.