Phương trình 4sin²2x – 3sin2x.cos2x – cos²2x = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; π)?

Ta có 4sin²2x – 3sin2x.cos2x – cos²2x = 0   (1)

Trường hợp 1: cos2x = 0.

Phương trình (1) tương đương với: 4sin²2x = 0.

⇔ sin2x = 0 (loại vì cos2x = 0).

Trường hợp 2: cos2x ≠ 0.

Chia hai vế của phương trình (1) cho cos²2x, ta được: 4tan²2x – 3tan2x – 1 = 0.

⇔tan2x=1tan2x=−14.

⇔2x=π4+kπ2x=arctan−14+kπ    k∈ℤ

⇔x=π8+kπ2x=12arctan−14+kπ2    k∈ℤ

So với điều kiện cos2x ≠ 0, ta nhận x=π8+kπ2;x=12arctan−14+kπ2    k∈ℤ .

• Vì x ∈ (0; π) nên 0<π8+kπ2<π

⇔−π8

⇔−14

Mà k ∈ ℤ, suy ra k ∈ {0; 1}.

Do đó x=π8;  x=5π8  .

• Vì x ∈ (0; π) nên .

⇔−12arctan−14

⇔−1πarctan−14

Mà k ∈ ℤ.

Suy ra k ∈ {1; 2}.

Do đó x=12arctan−14;  x=12arctan−14+π2 .

Vậy trong (0; π), phương trình đã cho có nghiệm là: x=π8;  x=5π8;  x=12arctan−14;  x=12arctan−14+π2 .

Do đó ta chọn phương án D.