Cho hàm số y=x4−21−m2x2+m+1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất.

Chọn C.

Hàm số y=x4−21−m2x2+m+1=x2−1+m22−m4+2m2+m

TXĐ: D=ℝ

Ta có: y'=4x3−41−m2x=4xx2−1+m2

y'=0⇔4xx2−1+m2=0⇔x=0x2=1−m2

Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔1−m2>0⇔m2<1⇔−1

Khi đó, các điểm cực trị của hàm số là A0;m+1;B1−m2;−m4+2m2+m;C−1−m2;−m4+2m2+m

BC→=−21−m2;0⇒BC=21−m2

Phương trình đường thẳng BC là y=−m4+2m2+m hay y+m4−2m2−m=0

 Khoảng cách từ A đến BC là dA,BC=m4−2m2+1=m2−12=m2−12

Diện tích ΔABC là SABC=12BC.dA,BC=1−m2.m2−12=1−m25≤1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m2=0⇔m=0 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khi m = 0 thì hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất.