Phương trình \[\frac{{\sin 5x}}{{\sin x}} = 2\cos x\] có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \[\left( {0;\,\,\pi } \right)\]?

Đáp án B

Phương pháp:

- Tìm ĐKXĐ

- Biến đổi phương trình về dạng \[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\]

Cách giải:

Điều kiện: \[\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \]

Khi đó, phương trình \[ \Leftrightarrow \sin 5x = 2\sin x\cos x \Leftrightarrow \sin 5x = \sin 2x\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = 2x + k2\pi \\5x = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = k2\pi \\7x = \pi + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{7} + \frac{{k2\pi }}{7}\end{array} \right.\]

Nếu \[x = \frac{{k2\pi }}{3}\] thì \[x \in \left( {0;\,\,\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow 0 < k < \frac{3}{2} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3}\,\,(TM)\]

Nếu \[x = \frac{\pi }{7} + \frac{{k2\pi }}{7}\] thì \[x \in \left( {0;\,\,\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{\pi }{7} + \frac{{k2\pi }}{7} < \pi \Leftrightarrow 0 < \pi + k2\pi < 7\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < 3\]

\[ \Rightarrow k \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{7};\,\,\frac{{3\pi }}{7};\,\,\frac{{5\pi }}{7}} \right\}\]

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm trong khoảng \[\left( {0;\,\,\pi } \right)\].