Cho hình chóp \[S.ABCD\]có \[ABCD\] là hình thang vuông tại \[A\] và \[D\], \[AB = AD = a\],\[CD = 2a\]. Hình chiếu của \[S\]lên mặt phẳng \[(ABCD)\]trùng với trung điểm của \[BD\]. Biết thể tích tứ diện \[SBCD\] bằng \(\frac{{{a^3}}}{{\sqrt 6 }}\). Tính khoảng cách từ \[A\]đến mặt phẳng \[(SBC)\] là:

Lời giải Chọn D Gọi \[M\]là trung điểm \[CD\], ABMD là hình vuông cạnh bằng 1 \(BM = \frac{1}{2}DC\),tam giác BCD vuông cân tại B. Ta có: \(BC \bot SB\)( vì\(BC \bot BD,\)\(BC \bot SO\)) \[\]\[d(A,(SBC)) = \frac{{3{V_{SABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{{3.\frac{1}{3}SO. ({S_{ABCD}} - {S_{\Delta ADC}})}}{{\frac{1}{2}SB.BC}} = \]\(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\). Cách 2. Chọn D Gọi \[M\]là trung điểm của \[CD\], \[H\]là trung điểm của \[BD\]. \[\Delta BCD\] có \[BM = \frac{1}{2}DC \Rightarrow \Delta BCD\] vuông tại \[B\] \[BD = a\sqrt 2 ,BC = \sqrt {D{C^2} - B{D^2}} = \sqrt {4{a^2} - 2{a^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow {S_{\Delta BCD}} = \frac{1}{2}.BD.BC = {a^2}\] \[{V_{SBCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{\Delta BCD}} \Rightarrow SH = \frac{{3{V_{SBCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{{3.{a^3}}}{{\sqrt 6 {a^2}}} = \frac{{\sqrt 6 a}}{2}\] +) Ta có \[AH//\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)\] +) Kẻ \[HK \bot SB\] \[\left. \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SHB} \right) \Rightarrow BC \bot HK\] Do đó \[HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HK\]

\[\Delta SHB\] có: \[\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{4}{{6{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} = \frac{{6{a^2}}}\]\[ \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt 6 a}}{4} = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\]