Cho hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( \right)\). Tìm m sao cho \(\left( \right)\) cắt đường thẳng \(d:y = x + 1\) tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,{x_2},\,{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 101\)

Đáp án A

Phương pháp:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

+) Sử dụng định lí Vi-ét.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( \right)\) và đường thẳng \(d:y = x + 1\)

\({x^3} - 2m{x^2} + 1 = x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 2mx - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2mx - 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Để 2 đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{0^2} - 2m.0 - 1 \ne 0\\{m^2} + 1 > 0\end{array} \right.\) (luôn đúng với mọi m)

Khi đó, phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 2m\) (hệ thức Vi-ét)

Đặt nghiệm \({x_3} = 0\). Ta có \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 101 \Leftrightarrow 2m + 0 = 101 \Rightarrow m = \frac{2}\)