Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (với m<2021) để phương trình 2x−1=log4x+2m+m có nghiệm?

Chọn A

Ta có 2x−1=log4x+2m+m⇔2x=log2x+2m+2m.

Đặt a=log2x+2m⇒2m=2a−x, phương trình đã cho trở thành

2x=a+2a−x⇔2x+x=2a+a (1)

Xét hàm số ft=2t+t, có f't=2tln2+1>0,∀t∈ℝ suy ra f(t) đồng biến trên R.

Khi đó 1⇔fx=fa⇔x=a, suy ra x=log2x+2m⇔2m=2x−x (2)

Xét hàm số gx=2x−x, ta có g'x=2xln2−1

⇒g'x=0⇔2xln2−1=0⇔x=−log2ln2=x0

Bảng biến thiên

Do đó (2) có nghiệm khi và chỉ khi 2m≥gx0=1ln2+log2ln2⇔m≥12ln2+12log2ln2≈0,46

Do m<2021,m∈ℤ nên m∈1;2;...;2020, do đó có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.