Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Thể tích của hình lăng trụ là . Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là bao nhiêu? V

Đáp án C

Phương pháp:

Thể tích hình lăng trụ \(V = Sh\)

Diện tích toàn phần của lăng trụ:

Cách giải:

Giả sử hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a, có chiều cao h.

Diện tích đáy: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Thể tích \(V = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.h \Rightarrow h = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}\)

Diện tích toàn phần:

\({S_{tp}} = 3a.h + 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 3a.\frac{{\sqrt 3 {a^2}}} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

\( = \frac{{4\sqrt 3 V}}{a} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 3 V}}{a} + \frac{{2\sqrt 3 V}}{a} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \ge 3\sqrt[{}]{{\frac{{2\sqrt 3 V}}{a}.\frac{{2\sqrt 3 V}}{a}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}}\)

\( = 3\sqrt 3 .\sqrt[3]{{2{V^2}}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{2\sqrt 3 V}}{a} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {a^3} = 4V \Leftrightarrow a = \sqrt[3]\)