Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Gọi M là điểm thuộc cạnh SD sao cho \(\overrightarrow {SM} = 3\overrightarrow {MD} \). Mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) cắt cạnh SC tại điểm N. Thể tích khối đa diện MNABCD bằng

Đáp án D

Phương pháp:

+) Xác định điểm N.

+) Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Cách giải:

Kẻ \(AH \bot SB \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại A \( \Rightarrow SA = a\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}\)

Kẻ \(MN//CD \Rightarrow \frac = \frac = \frac{3}{4}\)

Ta có: \({V_{S.ABD}} = {V_{S.BCD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)

\(\frac{{{V_{S.AMNB}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{{V_{S.ABM}} + {V_{S.BMN}}}}{{2{V_{S.ABD}}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABD}}}} + \frac{{{V_{S.BMN}}}}{{{V_{S.BCD}}}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac + \frac.\frac} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{4} + \frac{3}{4}.\frac{3}{4}} \right) = \frac\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_{MNABCD}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{{V_{S.ABCD}} - {V_{S.AMNB}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = 1 - \frac{{{V_{S.AMNB}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = 1 - \frac = \frac\)

Vậy \({V_{MNABCD}} = \frac{V_{S.ABCD}} = \frac.\frac{{{a^3}}}{3} = \frac{{11{a^3}}}\)