Cho đa thức f(x) với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện 2fx+f1−x=x2, ∀x∈ℝ. Biết tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 của đồ thị hàm số y=fx tạo với hai trục tọa độ một tam giác. Tính diện tích tam giác đó.

Chọn A

Thay x bởi 1-x vào phương trình 2fx+f1−x=x2 ta được 2f1−x+fx=1−x2.

Suy ra

22fx+f1−x−2f1−x+fx=2x2−1−x2⇔  fx=13x2+2x−1.

Khi đó f'x=23x+23. Với x0=1⇒y0=f1=23;  f'x0=f'1=43.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x=1 là

Δ:y=43x−1+23=43x−23.

Tiếp tuyến cắt Ox tại điểm A12;0 và Oy tại B0;−23, suy ra OA=12;OB=23.