Tìm tham số m để phương trình \({\log _{\sqrt {2018} }}\left( {x - 2} \right) = {\log _{2018}}\left( {mx} \right)\) có nghiệm thực duy nhất.

Đáp án C

Phương pháp:

Đưa các logarit về cùng cơ số.

Cách giải:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\mx > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\m > 0\end{array} \right.\)

\({\log _{\sqrt {2018} }}\left( {x - 2} \right) = {\log _{2018}}\left( {mx} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _{{{2018}^{\frac{1}{2}}}}}\left( {x - 2} \right) = {\log _{2018}}\left( {mx} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{\log _{2018}}\left( {x - 2} \right) = {\log _{2018}}\left( {mx} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _{2018}}{\left( {x - 2} \right)^2} = {\log _{2018}}\left( {mx} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = mx\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 4 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow pt\left( * \right)\) có nghiệm kép lớn hơn 2 hoặc \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < 2 < {x_2}\)

TH1: \(\left( * \right)\) có nghiệm kép lớn hơn 2 \( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {m + 4} \right)^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 8\end{array} \right.\left( {ktm} \right)\)

TH2: \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < 2 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 2 < 0 < {x_2} - 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 8\end{array} \right.\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 8\end{array} \right.\\4 - 2\left( {m + 4} \right) + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)