Tìm tất cả các giá trị m để hàm số \(y = mx + 2\sin x - 3\cos \,x\) nghịch biến trên R.

Đáp án D

Phương pháp:

Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in R\)

Tính \(y'\), cô lập m, đưa về hàm \(m \ge f\left( x \right)\,\,\forall x \in R\) hoặc \(m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in R\)

Lập BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và kết luận

+) \(m \ge f\left( x \right)\,\,\forall x \in R \Rightarrow m \ge \mathop {max}\limits_R f\left( x \right)\)

+) \(m \ge f\left( x \right)\,\,\forall x \in R \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_R f\left( x \right)\)

Cách giải:

TXĐ: \(D = R\)

Ta có \(y' = m + 2\cos \,x + 3\sin \,x\)

Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y' = m + 2\cos \,x + 3sin\,x \le 0\,\,\forall x \in R\)

\( \Leftrightarrow 3\sin x + 2\cos \,x \le - m\,\,\forall x \in R\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {13} \left( {\frac{3}{{\sqrt {13} }}\sin x + \frac{2}{{\sqrt {13} }}\cos \,x} \right) \le - m\,\,\forall x \in R\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {13} \left( {\sin x\cos \alpha + \cos \,x\,sin\alpha } \right) \le - m\,\,\forall x \in R\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {13} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le - m\,\,\forall x \in R\)

\( \Rightarrow \sqrt {13} \le - m \Leftrightarrow m \le - \sqrt {13} \)