Khối chóp tứ giác S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật \[AB = a,{\rm{ }}AD = 2a\]. Đường cao SA bằng 2a. Khoảng cách từ trung điểm M của SB đến mặt phẳng (SCD) là:

Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng công thức đổi điểm.

Cách giải:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SB \cap \left( {SCD} \right) = S\\SM = \frac{1}{2}SB\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)\)

Mặt khác: do \(\left\{ \begin{array}{l}AB//CD\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\)

Kẻ \(AH \bot SD\), ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH\)

Tam giác SAD vuông tại A, AH là đường cao \( \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} \Rightarrow AH = \sqrt 2 a\)

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)