Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho \(AM = \frac{4},\) N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tìm mệnh đề đúng?

Đáp án đúng là: D

Đặt \(\overrightarrow {AB} = \vec x;\,\,\overrightarrow {AD} = \vec y\)

Vì ABCD là hình vuông nên AB và AD vuông góc với nhau và AB = AD

⇒ \(\vec x.\vec y = 0;\,\,{\vec x^2} = {\vec y^2}\)

Khi đó:

\(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\left( {3\vec x - \vec y} \right);\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\left( {\vec x + 3\vec y} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = \frac{1}\left( {3\vec x - \vec y} \right)\left( {\vec x + 3\vec y} \right)\)

\( = \frac{1}\left( {3{{\vec x}^2} - 3{{\vec y}^2} + 8\vec x.\vec y} \right) = 0\)

Mặt khác:

\({\overrightarrow {MB} ^2} = \frac{1}{\left( {3\vec x - \vec y} \right)^2} = \frac{5}{8}{\vec y^2};{\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{1}{\left( {\vec x + 3\vec y} \right)^2} = \frac{5}{8}{\vec y^2}.\)

Vậy tam giác BMN vuông cân tại M.