Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6 và AC = 9. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AC = 3NC. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} \).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có AC = 3NC. Suy ra \(AN = \frac{2}{3}AC = 6\) và \[\overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \].

Tam giác ABC có AM là đường trung tuyến.

Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AN} - A{B^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {AB.AN.\cos \widehat {BAC} - A{B^2} + \frac{2}{3}A{C^2} - AC.AB.\cos \widehat {BAC}} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {AN.\frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}} - A{B^2} + \frac{2}{3}A{C^2} - \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{2}} \right)\)

\( = \frac{3}\).

Vậy ta chọn phương án A.