Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1]. Biết f(x)⋅f(1−x)=1 với mọi x∈[0;1]. Tính giá trị I=∫01dx1+f(x).

Ta có 1+f(x)=f(x)f(1−x)+f(x)⇒f(x)1+f(x)=1f(1−x)+1.

Xét I=∫01dx1+f(x). Đặt t=1−x⇔x=1−t⇒dx=−dt.

Đổi cận x=0⇒t=1;x=1⇒t=0.

Khi đó,I=−∫10dt1+f(1−t)=∫01dt1+f(1−t)=∫01dx1+f(1−x)=∫01f(x)dx1+f(x)

Mặt khác, ∫01dx1+f(x)+∫01f(x)dx1+f(x)=∫011+f(x)1+f(x)dx=∫01dx=1 hay 2I=1.

Vậy I=12.

Chọn B