Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈(−10;10) để hàm số y=m2x4−2(4m−1)x2+1 đồng biến trên khoảng (1;+∞) ?

Khi m = 0 thì y=2x2+1 đồng biến trên (0;+∞) nên đồng biến trên (1;+∞).

Như vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xét khi m≠0 (lúc đó hệ số m2>0) y'=4 m2x3−4(4 m−1)x,y'=0⇔x=0x2=4m−1 m2. 

+ Nếu 4m−1m2>0, tức là m>14 thì y'=0⇔x1=0x2=4m−1mx3=−4m−1m 

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên (1;+∞) thì 4m−1m≤1⇔m>144m−1≤m

⇔m>144m−1≤m2⇔m>14m2−4m+1≥0⇔m>14m≤2−3m≥2+3⇔14

+ Nếu m≤14m≠0 thì y'=0⇔x=0⇒ hàm số đồng biến trên (0;+∞) nên đồng biến trên (1;+∞).

Như vậy, hàm số đồng biến trên (1;+∞) khi m≤2−3m≥2+3.