Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;6). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON = 12. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.

Phương trình mặt phẳng (ABC):x2+y4+z6=1⇔6x+3y+2z−12=0

Gọi N(x;y;z). Theo già thiết ta có N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON=12 suy ra OM→=12ON2⋅ON→. Do đó M12xx2+y2+z2;12yx2+y2+z2;12zx2+y2+z2.

Mặt khác M∈(ABC) nên 612xx2+y2+z2+312yx2+y2+z2+212zx2+y2+z2−12=0

⇔6x+3y+2z−x2+y2+z2=0⇔x2+y2+z2−6x−3y−2z=0

Do đó điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định (S):x2+y2+z2−6x−3y−2z=0 có tâm