Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;3;5} \right)\), \(B\left( {1;1;3} \right)\), \(C\left( {4; - 2;3} \right)\). Khi đó: a) Tọa độ trung điểm \(BC\) là \(\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{2};3} \right)\). b) Độ dài đoạn thẳng \(BC\) là \(3\sqrt 2 \). c) Côsin \(\widehat {BAC}\) bằng \(\frac{{7\sqrt {19} }}\). d) Gọi \(D\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ABCD\). Tọa độ hình chiếu của trọng tâm tam giác \(ABD\) lên mặt phẳng \(Oyz\) là \(\left( {2;0;0} \right)\). Số mệnh ...

Đáp án đúng là: C

a) Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là trung điểm \(BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2} = \frac{5}{2}\\y = \frac{2} = - \frac{1}{2}\\z = \frac{2} = 3\end{array} \right.\) ⇒ \(I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{2};3} \right)\).

Vậy a đúng.

b) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 3;0} \right)\) ⇒ \(BC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2}} = 3\sqrt 2 \) suy ra b đúng.

c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 5; - 2} \right)\).

Do đó, \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)

\( = \frac{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt {19} }}.\)

Vậy ý c đúng.

d) Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {4 - x; - 2 - y;3 - z} \right)\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}4 - x = 0\\ - 2 - y = - 2\\3 - z = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\\z = 5\end{array} \right.\) ⇒ \(D\left( {4;0;5} \right)\).

Gọi \(G\left( {a;b;c} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3} = 2\\b = \frac{3} = \frac{4}{2}\\c = \frac{3} = \frac{3}\end{array} \right.\) ⇒ \(G\left( {2;\frac{4}{3};\frac{3}} \right)\).

Tọa độ hình chiếu của trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABD\) lên mặt phẳng \(Oyz\) là \(\left( {0;\frac{4}{3};\frac{3}} \right)\).