Trong không gian \(Oxyz\). Cho ba điểm \(A\left( { - 2;3;1} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\), \(C\left( { - 3; - 1;1} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tọa độ điểm \(D\) sao cho \(ABCD\) là hình thang có đáy \(AD\) và \({S_{ABCD}} = 3{S_{ABC}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AD + BC} \right).d\left( {A,BC} \right)\) \( \Leftrightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AD + BC} \right).\frac{{2{S_{ABC}}}}.\)

\( \Leftrightarrow 3{S_{ABC}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).{S_{ABC}}}} \Leftrightarrow 3BC = AD + BC \Leftrightarrow AD = 2BC\).

Mà \(ABCD\) là hình thang có đáy \(AD\) nên \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {BC} \).

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 2;1} \right)\), \(\overrightarrow {AD} = \left( {{x_D} + 2;{y_D} - 3;{z_D} - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {BC} \) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} + 2 = - 10\\{y_D} - 3 = - 4\\{z_D} - 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 12\\{y_D} = - 1\\{z_D} = 3\end{array} \right.\).

Vậy \(D\left( { - 12; - 1;3} \right)\).